高等数学 中值定理

§4.1

教学过程：1．【费马定理】设U(x0) D(f),

中值定理

一、罗尔中值定理及其应用

y

y f(x)

且对于任意x U(x0)，都有f(x) f(x0)[或f(x) f(x0)],若f(x) D(x0)，则f (x0) 0.

x0

证明：由于f(x) f(x0) f(x) f(x0) 0,

x U(x0)，那么

f(x) f(x0)

f (x0) lim 0,(因x x0 0)

x x0x x0

f(x) f(x0)

f (x0) lim 0,(因x x0 0),

x x0x x0

y

所以f (x0) 0.C

y f(x)

2.【罗尔Rolle定理】AB设f(x) C[a,b],

Of(x) D(a,b),且b

f(a) f(b)，则至少 (a,b),.t.f ( ) 0.证明：因f(x) C[a,b], xm,xM [a,b]，s.t.

m f(xm) min{f(x)},

a x b

M f(xM) max{f(x)}.

a x b

（1）当m M时,则f(x) M,x [a,b],那么f (x) 0,x (a,b).

a b

(a,b)，有f ( ) 0.2

(2)当m M时,因f(a) f(b)，

所以m,M不可能同时在端点达到，由f(x) D(a,b),

取

①若f(a) M,有xM (a,b),取 xM；②若f(a) M,有xm (a,b),取 xm；

因 (a,b),f(x) D( ),由费马定理知：f ( ) 0.

(2)的另证：当m M时,因f(a) f(b)，所以m,M不可能同时在端点达到.

不妨设m f(a)，则m在区间(a,b)内达到，即至少存在一点 (a,b)使得f( ) m，由于

f(x) D(a,b) f(x) D( )，即f ( ) f ( )

f(x) m

0

x x

f(x) m

且f ( ) lim 0

x x

所以f ( ) 0.

又因为

f ( ) lim

y3．几何意义：

C光滑曲线y f(x)在区间

两个端点纵坐标相等且在

A

除端点以外处处有不垂直于x轴的切线，则曲线在区间内至少有一条水平切O 线（或称曲线在区间内

至少有一条与横轴平行的切线）.

y f(x)

B

b

x

例1验证函数f(x) x 2x 3在区间[ 1,3]上罗尔定理成立.

提示：f(x) x 2x 3 (x 3)(x 1) C[ 1,3]

2

2

f (x) 2x 2 D( 1,3)，

f( 1) f(3) 0满足罗尔定理的条件，所以至少 1 ( 1,3)，使得f (1) 0

例2不用求出f(x) (x 1)(x 2)(x 3)的导数,试判别方程f (x) 0有几个实根.以及根所在的范围.

解：显然f(x)在区间[1,2],[2,3]上都连续,f(x)在区

间(1,2),(2,3)内都可导,且f(1) f(2) f(3),由罗尔定理知,

1 (1,2), 2 (2,3),s.t.f ( 1) f ( 2) 0；由于方程f (x) 0是一元二次方程,所以方程至多有两个实根,故方程f (x) 0有且仅有两个实根 1, 2.

注意：当罗尔定理的三个条件有一个不满足时，定理的结论就可能不成立.如图所示

例3（期末考试题）设f(x) C[0,1],f(x) D(0,1),且f(0) 0，

证明： (0,1),s.t.f( ) ( 1)f ( ) 0.(提示构造函数F(x) (x 1)f(x))证明：设F(x) (x 1)f(x)，则

F(0) f(0) 0 (1 1)f(1) F(1)，因为f(x) C[0,1],f(x) D(0,1)，所以F(x) C[0,1],F(x) D(0,1)，

从而函数F(x)在[0,1]上满足罗尔中值定理条件，所以至少 0 (0,1)使得F ( 0) 0，即f( 0) ( 0 1)f ( 0) 0.

提问1：设f(x) C[0,a],f(x)

D(0,a),且

f(a) 0，则 (0,a),s.t.3f( ) f ( ) 0.提示：构造函数F(x) x3f(x)，则

F (x)＝3x2f(x) x3f (x)，可以用罗尔定理证明.提问2：设f(x) C[1,2],f(x) D(1,2),且f(2) 8f(1)，

证明至少 (1,2),s.t.3f( ) f ( ) 0.

提示：构造函数F(x) x

f(x)，

F (x)＝-3x 4f(x) x 3f (x)，

3

可以用罗尔定理证明.

提问3：设f(x) C[0,1],f(x) D(0,1),且

f(0) f(1) 0，

证明：至少 (0,1),s.t.f ( ) f( )sin 0.

提示：构造函数F(x) e

f(x),则

F (x)＝e cosxf(x)sinx e cosxf (x)

cosx

可以用罗尔定理证明.

说明：根据题设找出满足罗尔定理条件的函数是证明问题的关键.

例4(03.8)设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0) f(1) f(2) 3,f(3) 1,试证必存在

(0,3),使f ( ) 0.

证

由条件f(x) C[0,3],[0,2] [0,3]知f(x)在

[0,2]上连续,所以f(x)在[0,2]上取得最小值m与最大

f(0) f(1) f(2)

值M,于是m 1 M,

3

由介值定理知,存在 [0,2],使得f( ) 1;所以f( ) f(3) 1

又由条件知f(x)在[ ,3]上连续,在( ,3)内可导,

由罗尔定理知,

至少存在 ( ,3) (0,3),使得f ( ) 0.故已知结论正确.

结论：罗尔中值定理的作用：解决导函数构成方程的根的问题.

二、拉格朗日中值定理及其应用1.【拉格朗日Lagrange中值定理】设f(x) C[a,b]，y

Cf(x) D(a,b),

则至少 (a,b),s.t.

A

f(b) f(a) f ( )(b a)

f(b) f(a)

【或f ( ) 】.Ob a

此式称为拉格朗日中值公式.证明：构造函数

y f(x)

N

B

b

x

L(x) f(x) f(a)

f(b) f(a)

(x a),

b a

其中x [a,b].

因为f(x) C[a,b]，所以L(x) C[a,b]；由f(x) D(a,b)，知L (x) f (x) 即L(x) D(a,b)；

又L(a) 0 L(b),

所以由罗尔定理知： (a,b),s.t.L ( ) 0,

f(b) f(a)

，

b a

f(b) f(a)

0,

b a

所以f(b) f(a) f ( )(b a)， (a,b).

即

L ( ) f ( )

结论：拉格朗日中值定理的作用：证明恒等式与不等式问

题，证明单调性问题.

说明：

1）设L(x) f(x)(b a) [f(b) f(a)]x，

x [a,b]也可以进行定理证明.

2）拉格朗日中值定理在a b时成立.拉格朗日中值定理

也称为微分中值定理.或有限增量定理，它精确表示了函数在一个区间上的增量与函数在此区间内某点导数间的关系： y f (x x) x，其中0 1.（微分中值公式）