第二章 一维随机变量习题答案

第二章 一维随机变量

2.1 下列给出的是不是某个随机变量的分布列？

35 23 1 1

(1) 0.50.30.2 (2) 0.70.10.1

0(3) 1

2

2 n 12 n 1

222n (4)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 2 3 2 2 2

解 （1）是

（2）0.7 0.1 0.1 1，所以它不是随机变量的分布列。

1 1 1 1 1 3（3）1 1 ,所以它不是随机变量的分布列。 22 3 2 3 2 3 4

1 1 （4） 为自然数，且n 0, 1，所以它是随机变量的分布列。 2 n 1 2

2

n

nn

2.2 设随机变量 的分布列为：P( k) (1)P( 1或 2);

15

(2P( )) ； (3) P(1 2)。

22

121

; 解 (1) P( 1或 2)

15155

151

(2) P( ) P( 1) P( 2) ;

225

1

(3) P(1 2) P( 1) P( 2) .

5

k

,k 1,2,3,4,5，求15

2 2.3 解 设随机变量 的分布列为P( i) C ,i 1,2,3。求C的值。 3

2 2 解 C

3

2

3 3

2

3

i

27 ，所以C 138

。

2.4 随机变量 只取正整数N，且P( N)与N2成反比，求 的分布列。 解 根据题意知P( N) C2

N

2

C ，其中常数C待定。由于 2 C 1，所

6N 1N

以C 62，即 的分布列为P( N)

6

2N2

，N取正整数。

2.5 一个口袋中装有m个白球、n m个黑球，不返回地连续从袋中取球，

直到取出黑球时停止。设此时取出了 个白球，求 的分布列。

解 设“ k”表示前k次取出白球，第k 1次取出黑球，则 的分布列为：

P( k)

m(m 1) (m k 1)(n m)

,k 0,1, ,m.

n(n 1) (n k)

2.6 设某批电子管的合格品率为

31，不合格品率为，现在对该批电子管进44

行测试，设第 次为首次测到合格品，求 的分布列。

1 解 P( k)

4

k 1

3

,k 1,2, . 4

2.7 一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只球，以 表示取出球的取大号码，求 的分布列。

k 1 2 解 P( k) ,k 3,4,5. 5 3

2.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p(0 p 1)，设 为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求 的分布列。

解P( k) qk 1p pk 1q,k 2,3, ，其中q 1 p。

2.9 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6，求每名队员投篮次数的分布列。

解 设 ， 表示第二名队员的投篮次数，则

P( k) 0.6k 10.4k 10.4+0.6k0.4k 10.6 0.76 0.24k 1,k 1,2, ； P( k) 0.6k0.4k 10.6 0.6k0.4k0.4 0.76 0.6k0.4k 1,k 1,2, 。

2.10 设随机变量 服从普哇松分布，且P( 1) P( 2)，求P( 4)。 解P( k)

k

k!

e( 0)k 0,1,2, 。由于 e

2

2

e ,得 1 2, 2 0

24 22 2

e e。 （不合要求）。所以P( 4) 4!3

2.11 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问

在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。

解 设 为该种商品当月销售数，x为该种商品每月进货数，则

P( x) 0.999。查普哇松分布的数值表，得x 16。

2.12 如果在时间t（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与t成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。

解 设 为时间t内通过交叉路口的汽车数，则

( t)k t

P( k) e( 0),k 0,1,2,

k!

t 1时，P( 0) e 0.2，所以 ln5；t 2时， t 2ln5，因而

P( 1) 1 P( 0) P( 1) (24 ln25)/25 0.83。

2.13 一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过500个）。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。

1

解 在指定的一页上出现某一个错误的概率p ，因而，至少出现三个

500

错误的概率为

500 1 499 k 500 500

k 3

500

k500 k

500 1 499

1 k 500 500

k 0

2

k500 k

利用普哇松定理求近似值，取 np 500

15

1 1 1 0.080301

2ek 0k!

2

1

1，于是上式右端等于 500

2．14 某厂产品的不合格品率为0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？

解 设每箱至少装100 x个产品，其中有k个次品，则要求x,使

100 x k100 x k

0.030.97 0.9 ， k

k 0

x

利用普哇松分布定理求近似值，取 (100 x) 0.03 3，于是上式相当于

3k 3

0.9 ，查普哇松分布数值表，得x 5。

k 0k!

x

2.15 设二维随机变量( , )的联合分布列为：

P( n, m)

npm(1 p)n m

m!(n m!)

n

e

( 0,0 p 1) m 0,1, ,n

n 0,1,2,

求边际分布列。

解 P( n) P( n, m)

m 0

ne

n!

m 0

m!(n m)!p

n

n!

m

(1 p)n m

ne

n!

n 0,1,2,

pme

P( m) P( n, m)

m!n 0

n m

m!(n m)!p

n!

m

(1 p)n m

( p)me p

m!

m 0,1,2, 。

3.1 设随机变数 的分布函数为F(x)，试以F(x)表示下列概率： （1）P( a)；（2）P( a)；（3）P( a)；（4）P( a) 解：（1）P( a) F(a 0) F(a)； （2）P( a) F(a 0)； （3）P( a)=1-F(a)； （4）P( a) 1 F(a 0)。

1

是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果

1 x2

（1） x

（2）0 x ，在其它场合适当定义； （3）- x 0，在其它场合适当定义。

3.2 函数F(x)

解：（1）F(x)在（- , ）内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数； （2）F(x)在（0， ）内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数； （3）F(x)在（- ,0)内单调上升、连续且F( ,0)，若定义

F(x) x 0~

F(x)

x 0 1

则F(x)可以是某一随机变量的分布函数。

~

3.3 函数sinx是不是某个随机变数 的分布密度？如果 的取值范围为

（1）[0,

3

]；（2）[0, ]；（3）[0, ]。 22

解：（1）当x [0,布密度； （2）因为

2

]时，sinx 0且 2sinxdx=1，所以sinx可以是某个随机变量的分

sinxdx=2 1，所以sinx不是随机变量的分布密度；

3

2

（3）当x [ , ]时，sinx 0，所以sinx 不是随机变量的分布密度。 3.4 设随机变数 具有对称的分布密度函数p(x)，即p(x) p( x),证明：对任意的

1

a 0,有（1）F( a) 1 F(a)

2

（2）P（ a) 2F(a) 1； （3）P( a) 2 1 F(a) 。 证：（1）F( a)

a

p(x)dx；

a

p(x)dx 1 p(x)dx

a

=1

a

a

p( x)dx 1 p(x)dx

a

=1 F(a) 1

p(x)dx

p(x)dx

a1

p(x)dx； 20

（2）P( a

a

a

p(x)dx 2 p(x)dx，由（1）知

a

1-F(a)

故上式右端=2F(a) 1；

a1

p(x)dx 20

（3）P( a) 1 P( a) 1 [2F(a) 1] 2[1 F(a)]。

3.5 设F1(x)与F2(x)都是分布函数，又a 0,b 0是两个常数，且a b 1。证明

F(x) aF1(x) bF2(x)

也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？ 证：因为F1(x)与

F2(x)都是分布函数，当x1 x2时，F1(x1) F1(x2)，

F2(x1) F2(x2)，于是

F(x1) aF1(x1) bF2(x1) aF1(x2) bF2(x2) F(x2)