高等数学 多元复合函数的微分法与隐函数的微分法

思考题：

1.若函数z z(x,y)由方程ex 2y 3z xyz 1确定，则dz|(0,0) ?

2.设f(u,v)是二元可微函数,z f(

yx,,则xy

z z

. y

x y

2

3.设f(x,y)具有一阶连续偏导数,f(x,x) 1且

．fx(x,x2) x，则fy(x,x2) x

4.设函数z z(x,y)由方程(z y) xy确定，则

x

z

x

(1,2)

___________.

yx

z

| ？ x(1,0)

(2014校数学竞赛)设f(x,y)可微，且f(1,1) 1，fx (1,1) 1,fy (1,1) 2，y f(x,f(x,x))，求

5.设z (x e)，则

dy

| ?dxx 1

提示：

dy

f1 (x,f(x,x)) f2 (x,f(x,x))[f1 (x,x) f2 (x,x)]dx

dy

|x 1 f1 (1,f(1,1)) f2 (1,f(1,1))[f1 (1,1) f2 (1,1)]dx

f1 (1,1) f2 (1,1)[f1 (1,1) f2 (1,1)] 1 2[1 2] 7.

§8.4—8.5多元复合函数的求导法则

与隐函数的微分法

教学过程：

一、复合函数的微分法1.【定理8.4】若函数u (x,y),v (x,y)在点(x,y)

u u v v

处的偏导数,,,都存在，且在对应点(u,v)处

x y x y

函数z f(u,v)具有一阶连续的偏导数，则复合函数z f[ (x,y), (x,y)]对x、y的偏导数存在， z z u z v z z u z v且； .

x u x v x y

u

y

v y

（复合函数求导的链式法则或复合函数的微分法）

【说明】先分类分步，再建模.类相加，步相乘.2.特别地，若z f(u,v)，而u (x)，v (x)，则z就是x的一元函数z f[ (x), (x)]，z对x的导数称为全导数，dz zdu zdv即. dx udx vdx

3.若z f(x,y)，而y (x)，则z f[x, (x)]的全导数为dz z zdy

.

dx x ydx

3.复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数时，利用树图可以很方便地求所需的偏导数.

提问：(07.3.4)设f(u,v)是二元可微函数,z f(则x

yx,,xy

z z y x y

t

.

例1设z uv sint，而u e，

v cost，求全导数

例2设u 求

dz.dt

2

f(x,y,z) ex

y2 z2

,z x2siny,

u u和. x y

y2

例3设z (xy)， 为可微函数，

2x

z32 z求证：x xy y2 0.

x y2

zy2 zy

证由于 2 y (xy)， x (xy)

x2x yx

z32 z所以x xy y2

x y2y2y3

x [ 2 y (xy)] xy[ x (xy)] y2

2xx23y232 y 0.

22

例4设z xy u，其中u (x,y)具有二阶连续偏导

数，求z x,zxx,zxy.

2

z u 2z 2u 2z 2u

解. y , ,

x x x2 x2 x y x y提问：（1）设f(x,y)具有一阶连续偏导数,

2

f(x,x2) 1且fx(x,x2) x，则fy(x,x)

分析：符号的意义是什么？建模？解设z f(x,y)，且y x，

2

．

1．2

即0 x 2xfy，所以fy

（2）（2014年学校竞赛）设f(x,y)可微，f(1,2) 2，

fx(1,2) 3,fy(1,2) 4, (x) f(x,f(x,2x))；求 (1).

解设 (x) f(u,v),u x,v f(x,y),y 2x，

fdu f v vdy

则 (x) [ ]

udx v x ydx

(1) fu(1,f(1,2)) fv(1,f(1,2))[fx(1,2) 2fy(1,2)]

fu(1,2) fv(1,2)[fx(1,2) 2fy(1,2)] 3 4[3 2 4] 47.

例5（1）设z f(u,x,y)，u xe，其中f具有二阶

y

2z

连续偏导数，求.

x y

z u解 fu fx eyfu fx

x x

y

注意到fx ,fu 仍然是u,x,y的函数，且u xe，

所以

2z u u

] [fxu ] eyfu ey[fuu fuy fxy

x y y y

. eyfu xe2yfuu eyf xeyfxu fxy

说明：在求多元函数的偏导数，特别是符号表示的抽象函数的各阶偏导数时，注意应用简便记号

f(u,v) 2f(u,v)

,fu f1 ,fuu f11

2

u u 2f(u,v) 等.fuv f12

u v

（2）设w f(x y z,xyz)，f具有二阶连续偏导数， w 2w求．,

x x z

解:令u x y z,v xyz，则

w f(x y z,xyz) f(u,v) w f u f v

f1 yzf2 x u x v x 2w

(f1 yzf2 ) x z z

xyf12 yf2 yzf21 xy2zf22 . f11

另解：令u x y z,v xyz.

2f(u,v) f(u,v)

，f22 .记f1 ,f12,同理有f2 ，f11

u v u

w f u f v f1 yzf2 ,①

x u x v x 2w f f

(f1 yzf2 ) 1 yf2 yz2,②

x z z z z f1 f1 u f1 v

xyf12 , f11

z u z v z f2 f2 u f2 v

xyf22 , f21

z u z v z 2w

xyf12 yf2 yz(f21 xyf22 ) f11

x z

y(x z)f12 xy2zf22 yf2 ． f11

练习：

1.设w f(x y,

2

2

x

，f具有二阶连续偏导数，y

w 2w,求． x x y

2.(89.5)已知z f(u,v),u x y,v xy,且 2z

f(u,v)的二阶偏导数都连续,求.

x y

二、全微分形式不变性