《概率论与数理统计》课后习题答案第一章

概率论与数理统计课后答案

习题1.1解答

1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件A,B,C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件A,B,C中的样本点。

解： (正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）

A (正，正)，（正，反） ；B （正，正），（反，反） C (正，正)，（正，反），（反，正）

2. 在掷两颗骰子的试验中，事件A,B,C,D分别表示“点数之和为偶数偶数”，

“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件AB,A B,C,BC,A B C D中的样本点。

解： (1,1),(1,2), ,(1,6),(2,1),(2,2), ,(2,6), ,(6,1),(6,2), ,(6,6) ；

AB (1,1),(1,3),(2,2),(3,1) ；

A B (1,1),(1,3),(1,5), ,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1) ； C ；BC (1,1),(2,2) ；

A B C D (1,5),(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(5,1),(6,2),(6,4)

3. 以A,B,C分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用A,B,C表示以下

事件：

（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。

解：（1）A； （2）AB； （4）AB AC BC; （8）ABC； （9）

（3）A B C；

（5）A B C；

（6）； （7） C B A或

4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：A2, A2

A3, A1A2, A1 A2, A1A2A3,

A1A2 A2A3 A1A3.

解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。

5. 设事件A,B,C满足ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：

A B C，AB C，B AC.

解：如图：

AC

AAABC

ABB

BC

B

A B C A AC AB ABC BC B C;AB C AB C;

B AC AB B BC

B AB B BC

6. 若事件A,B,C满足A C B C，试问A B是否成立？举例说明。

解：不一定成立。例如：A 3,4,5 ，B 3 ，C 4,5 ，

那么，A C B C，但A B。

7. 对于事件A,B,C，试问A (B C) (A B) C是否成立？举例说明。

解：不一定成立。 例如：A 3,4,5 ，B 4,5,6 ，C 6,7 ， 那么A (B C) 3 ，但是(A B) C 3,6,7 。

8. 设P(A)

，P(B) ，试就以下三种情况分别求P(B)：

23

（1）AB ， （2）A B， （3）P(AB) .

8

1； 2

解：

（1）P(B) P(B AB) P(B) P(AB) （2）P(B) P(B A) P(B) P(A)

1； 6

113

（3）P(B) P(B AB) P(B) P(AB) 。

288

9. 已知P(A) P(B) P(C)

，P(AC) P(BC) ，P(AB) 0求事件416

A,B,C全不发生的概率。

解：P() PA B C 1 P(A B C)

=1 P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC)

11 111 3

1 0 0

1616 8 444

10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：A “三个都是红灯”=“全红”； B “全绿”； C “全黄”； D “无红”； E “无绿”； F “三次颜色相同”； G “颜色全不相同”； H “颜色不全相同”。

解：

1 1 112 2 28

；P(D) P(E) ；

3 3 3273 3 327

11113!2

P(F) ；P(G) ；

27272793 3 39

18

P(H) 1 P(F) 1 .

99P(A) P(B) P(C)

11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：

（1） 取出的3件中恰有1件是次品的概率； （2） 取出的3件中至少有1件是次品的概率。

解：

一次拿3件：

211221C98C2C2C98 C2C98

（1）P ； （2） 0.0588P 0.0594； 33

C100C100

每次拿一件，取后放回，拿3次：

2 982

3 0.0576； （1）P 3

100

每次拿一件，取后不放回，拿3次： （1）P

983

0.0588； （2）P 1 3

100

2 98 97

3 0.0588；

100 99 98

98 97 96

0.0594 （2）P 1

100 99 98

12. 从0,1,2, ,9中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：

A1 三个数字中不含0与5 ，A2 三个数字中不含0或5 。

解：

3C87

P(A1) 3 ；

C1015

3312C9 C8C81414

或 P(A2) P(A) 1 23315C10C1015

13. 从0,1,2, ,9中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。

5P93 4P8241

解：P 4

90P10

14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率： （1）6人中至少有1人生日在10月份； （2）6人中恰有4人生日在10月份； （3）6人中恰有4人生日在同一月份；

解：

4

C6 112116

（1）P 1 6 0.41； （2）P 0.00061； 6

121214C12C6112

（3）P 0.0073 6

12

15. 从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。

解：

131213111C4C13 C4C13C39C4C13C13C13P 0.602或P 1 0.602 33

C52C52

习题1.2解答

1. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。

解：

令Ai “取到的是i等品”，i 1,2,3

P(A13)

P(A13)P(A1)0.62

。

P(3)P(3)0.93

2. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合

格品，求另一件也是不合格品的概率。

解：

令A “两件中至少有一件不合格”，B “两件都不合格”

P(AB)P(B)

P(B|A)

P(A)1 P()

2C4

2C102C10

1

C62

1 5

3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93，在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85，求

（1） 两种报警系统I和II都有效的概率； （2） 系统II失灵而系统I有效的概率； （3） 在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。

解：令A “系统（Ⅰ）有效” ，B “系统（Ⅱ）有效” 则P(A) 0.92,P(B) 0.93,P(B|) 0.85 （1）P(AB) P(B B) P(B) P(B)

P(B) P()P(B|) 0.93 (1 0.92) 0.85 0.862 （2）P(A) P(A AB) P(A) P(AB) 0.92 0.862 0.058 （3）P(A|)

P(A)0.058

0.8286

P()1 0.93

4. 设0 P(A) 1，证明事件A与B独立的充要条件是

P(B|A) P(B|)

证：

： A与B独立， 与B也独立。 P(B|A) P(B),P(B|) P(B) P(B|A) P(B|)

： 0 P(A) 1 0 P() 1

P(AB)P(B)

又 P(B|A) ,P(B|)

P(A)P()

P(AB)P(B)

而由题设P(B|A) P(B|)

P(A)P()